Centres étrangers, juin 2024

On considère l’équation différentielle \((E_0) : y' = y\)  où  `y` est une fonction dérivable de la variable réelle `x` .

1. Démontrer que l’unique fonction constante solution de l’équation différentielle  `(E_0)`  est la fonction nulle.

2. Déterminer toutes les solutions de l’équation différentielle `(E_0)` .

On considère l’équation différentielle \((E ) : y' = y - \cos(x) - 3 \sin(x)\)  où  `y` est une fonction dérivable de la variable réelle `x` .

3. La fonction `h` est définie sur  `\mathbb{R}` par \(h(x) = 2 \cos(x) + \sin(x)\) . On admet qu’elle est dérivable sur   `\mathbb{R}` .
Démontrer que la fonction  `h` est solution de l’équation différentielle `(E )` .

4. On considère une fonction  `f` définie et dérivable sur `\mathbb{R}` .
Démontrer que : «  `f` est solution de `(E )` » est équivalent à « `f - h` est solution de
`(E_0)`  ».

5. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle `(E )` .

6. Déterminer l’unique solution `g` de l’équation différentielle `(E )` telle que `g (0) = 0` .

7. Calculer :  \(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left[-2\text{e}^x+\sin(x)+2\cos(x)\right] \;\text d x\) .